求证“a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 10:04:36

此题可以从左向右证明

（ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)
=a^3b+ab^3+abc^2+a^2bc+b^3c+bc^3+a^3c+ab^2c+c^3a
=a^3b+a^3c+b^3c+ab^3+bc^3+c^3a+abc^2+a^2bc+ab^2c
=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c）

a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)
=a^2(ab+ac)+b^2(bc+ab)+c^2(ac+bc)+a^2bc+b^2ac+c^2ab
=a^2(ab+ac+bc)+b^2(bc+ab+ac)+c^2(ac+bc+ab)
=(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)

原式=(b+c)a^3+b^3a+b^3c+ac^3+bc^3+a^2bc+ab^2c+abc^2
=a^2(ab+ac+bc)+b^2(ab+ac+bc)+c^2(ab+ac+bc)
=(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)
法二：拆开因式分解结果即得。